Неогеометрия и её значение для теории познания
Едва ли кто-либо из учёных оказал большее влияние на развитие проблемы о природе геометрических аксиом, чем Гельмольц. Благодаря тому огромному авторитету, который он имел в науках физических и математических, и его рассуждения в области философии математики приобрели очень большое значение. Может быть, впрочем, это находилось в зависимости от того, что он опровергал кантовский априоризм и выступал на защиту эмпирической теории, которая пользовалась успехом у публики. Во всяком случае его сочинения по философии геометрии читались больше сочинений других авторов и оказали наибольшее влияние на развитие эмпиризма в геометрии.
Его главная заслуга в разбираемом нами вопросе заключалась в том, что он пошёл дальше Лобачевского и Риманна и доказывал не только возможность иных пространственных отношений в сравнении с нашими, а также в известном смысле и их представимость (Vorstellbarkeit), что для него чрезвычайно важно, потому что благодаря этому он надеялсяпоказатьнесостоятельностькантовскогоучения об априорности пространства. По его словам: «Если представимы пространства юного рода, то этим самым отвергается, что аксиомы геометри суть необходимые следствия изаприори даннях трансцендентальних форм наших интуиций в смысле Канта». Следовательно, главное значение метагеометрии по Гельмгольцу заключается в том, чтоонадоказываетнесостоятельностькантовскойтеории трансцендентальних форм, именно посредством доказательства «представимости» пространственных отношений, отличающихся от наших.
Если Гельмгольц покажет, что не только «возможны», но и «представимы» пространства других видов в сравнении с созерцаемым нами реальным пространством, то он будет в состоянии доказати эмпирический тезис о зависимости геометрических аксиом от воздействия окружающей среды, т.е. он докажет, другими словами, чтонашипространственныепредставления суть продукты воздействия реального пространства, что аксиомы нашей геометри больше или менше точно отражают свойства нашого пространства.
По Канту, пространство есть неизменная форма нашего сознания. По его мнению, геометрическиеаксиомыотличаютсянеобходимым, аподиктическим характером. Мы не можем мыслить что либо противоречащее тому, что выражается в аксиомах. Аксиомы суть незыблемая истины. Поэтому представить себе какие либо пространственные отношения, которые могли бы уклонятся от наших, невозможно. Но это утверждение кантианцев по мнению Гельмгольца, фактически не правильно. Если бы они были правы в том, что пространство есть неизменная форма сознания, то оно не могло бы представляться иначе, чем мы его представляем, а раз мы его можем представлять иначе, то оно не есть форма сознания.
Для того, чтобы доказать, что возможны пространства, отличающиеся от нашего, Гельмгольц доказывает, что существуют геометрии, отличающиеся от нашей, а для этого он показывает, что существуют такие пространственные формы, в которых аксиомы евклидовой геометрии не имеют применения, а из этого для него делается несомненным также и существование иных пространственных отношений.
Важнейшие аксиомы евклидовой геометрии, как известно, суть следующая:
- Аксиомасовместимости, по которой величины, совпадающие друг с другом, равны;
- Аксиома, по которой две точки определяют положение прямой и, наконец
- Аксиомапараллельности.
По мнению Гельмгольца, возможны пространства, в которыхимеютприложимостьтолькоодниизэтихаксиом, и не имея приложимости другие. Для каждогопространствасуществуютсвоиопределённыеаксиомы.Чтобыэту мысль сделать конкретно представимой, Гельмгольцделает предположение, что на различных поверхностях обитают различные фиктивные существа, которые обладают теми или другими геометрическими представлениями, разумеется, в зависимости от обитаемой поверхности и прослеживает, какого рода пространственные представления могли быть у таких существ.
«Представим себе, – говорит Гельмгольц, – одарённые рассудком существа, всего только двух измерений, которые бы жили на поверхности какого-либо из наших твёрдых тел и двигались на ней. Предположим, что они не обладают способностью воспринимать что-либо вне этой поверхности, на которой они движутся. Если бы такие существа выработали свою геометрию, то они приписали бы своему пространству, конечно только два измерения. Они пришли бы к тому выводу, что точка которая движется, образует поверхность, которая была для них самым высшим пространственным образованием. Но они также мало были бы в состоянии составить себе представление о дальнейшем пространственном образовании, которое возникло бы в том случае, если бы поверхность выдвинулась из их поверхностного пространства, как мы не в состоянии иметь представление об образовании, которое получилось бы в том случае, если бы какое-нибудь тело выдвинулось из известного нам пространства».
Эти поверхностные существа «могли бы проводить кратчайшие линии в своём поверхностном пространстве. Это не были бы прямые линии в нашем смысле, но то, что по геометрической терминологии называется геодезическими линиями поверхности, на которой живут эти существа, т.е. линии, которые описывает натянутая нить, прилегающая к поверхности и могущая скользить на ней совершенно беспрепятственно». Эти геодезические линии аналогичны прямым линиям на плоскости.
Если бы существа этого рода жили на бесконечной плоскости, то они создали бы ту самую геометрию, которая содержится в нашей планиметрии. Они утверждали бы, что между двумя точками возможна только лишь одна прямая, что через точку, лежащую вне данной прямой, может быть проведена лишь одна параллельная прямая к данной, что вообще прямые могут быть продолжаемы до бесконечности, при чём их концы не встречаются и т.д.
«Разумные существа этого рода могли бы жить и на поверхности шара. Их кратчайшей или прямейшей линией между двумя точками была бы тогда дуга наибольшего круга, которую можно провести через эти точки». На шаровой поверхности между двумя точками существует бесконечное число кратчайших линий. Поэтому, «аксиома, что между двумя точками существует только одна кратчайшая линия, была бы справедлива для обитателей шаровой поверхности не без некоторых исключений». Параллельных линий совсем не знали бы обитатели шаровой поверхности. Они утверждали бы, что две любые прямейшие линии при достаточном продолжении должны, в конце концов, пересечься не в одной, но в двух точках. Сумма углов в треугольника всегда была больше двух прямых и тем больше чем площадь треугольника. Вследствие этого у них отсутствовало бы такое понятие о геометрическом подобии формы между большими и меньшими фигурами того же рода, потому что больший треугольник всегда у них имеет иные углы, нежели меньший. Их пространство было бы признано безграничным, но в тоже время конечным, или по крайней мере, оно представлялось бы таковым. «Ясно, что существа, живущие на шаре и обладающие теми же логическими способностями, какими обладают существа, живущие на плоскости, должны были бы создать совсем иную систему геометрических аксиом, чем существа, живущие на плоскости, и чем мы сами в нашем пространстве трёх измерений».
«Но представим себе далее одарённые разумом существа, которые живут на поверхности яйцеобразного тела. Между каждыми тремя точками такой поверхности можно провести кратчайшие линии и построить таким образом треугольник. Но если бы мы попытались построить совмещающийся треугольник в различных местах этой поверхности, то оказалось бы, что если два таких треугольника имеют стороны одинаковой длины, то их углы будут неодинаково велики. Если бы треугольник был начерчен на остром конце треугольника, то сумма углов треугольника больше отличалась бы от двух прямых, чем в том случае, когда треугольник изображён на тупом конце: отсюда следует, что на такой поверхности такое пространственное образование, как треугольник без изменения формы не может быть передвигаемо с одного места на другое». На этой поверхности фигуры не могут передвигаться без того, чтобы не происходило сжатия или растяжения сторон их.
Поэтому мы должны признать, что на поверхности яйцеобразного тела не существует «свободной подвижности», которая существует напр., на плоской поверхности, а также на поверхности шара, а, следовательно, на поверхности яйцеобразного тела не существует совпадения фигур. В геометрии существ обитающих на такой поверхности, не может быть аксиомы совместимости.
Но представим далее, что вышеуказанные фиктивные существа живут на поверхности псевдосферы. Какую геометрию выработают они?
На псевдосфере аксиома совместимости имеет приложение: на ней фигуры могут передвигаться без изменения своей формы. На ней между двумя точками можно провести только одну кратчайшую. Следовательно,поверхность псевдосферы в двух отношениях похожа на плоскую поверхность, но зато на ней аксиома параллельности не имеет места. «Если на поверхности прямейшая линия и вне её точка, то можно провести через точку пучок прямейших линий, причём все они не пересекают данную прямую, хотя бы мы их продолжали до бесконечности». А это другими словами значит, что на этой поверхности аксиома не имеет места. Но так как с аксиомой тесно связано то положение, что сумма углов в треугольнике равняется двум прямым, то сумма углов треугольника на псевдосфере не равна 2d, а меньше. На псевдосфере нет подобия треугольников, потому что на ней треугольники обладают тем свойством, что чем больше стороны треугольника, тем меньше сумма углов.
Таким образом ясно, что мыслимы и такие пространственные отношения, которые совершенно отличаются от наших и в которых геометрические аксиомы были бы не те, которые имеются у нас.
Но если рассуждение относительно возможности геометрии, отличающейся от нашей, справедливо применительно к поверхностям, т.е. к пространству двух измерений, то оно может быть применимо по аналогии и к пространству более, чем в два измерения. Мы можем мыслить существование таких пространств более, чем в два измерения, которым присущи не те свойства, которые присущи нашему пространству.
Из этих рассуждений Гельмгольц считает возможным сделать вывод, что смотря по роду обитаемого пространства (nachderArt`desWohnraumes)должны быть созданы разные геометрические аксиомы существами, которые обладают силами рассудка, совершенно соответствующими нашим.
После сказанного мы можем указать место Гельмгольца в истории нашего вопроса.
Эмпиризм утверждает, что наши геометрические аксиомы зависят от формы реального пространства; а эта мысль делается особенно ясной, если показать, что существуют различные пространства, и что в зависимости от различия пространства должны существовать и различные геометрии.
Гельмгольц доказывает пространственность иных пространственных отношений именно тем, что показывает возможность иной геометрии или иных геометрических аксиом.
Как я указал выше, для Гельмгольца важно показать не только возможность иных пространств, но также и их представимость. Но как он понимает представимость иных пространств?
Для вообразимости или мыслимости других пространственных отношений требуется «полная представимость тех чувственных впечатлений, которые данный предмет вызывает в нас по известным законам наших органов чувств при всех возможных условиях нашего наблюдения, и посредством чего он мог бы быть различаем от всех других сходных предметов». Этим Гельмгольц хочет сказать, что если бы мы могли определить, каковы могли бы быть пространственные представления у того существа, которое перенесётся в другое пространство, например, псевдосферическое или сферическое, то мы сделали бы то пространство, в известном смысле, представимым.
Представимость сферического или псевдосферического многообразия Гельмгольц поясняет следующим образом. Эти пространства (Сферическое и псевдосферическое) могут быть нами вполне определены аналитически, а отсюда легко вычислить, какими свойствами будут обладать те изображения, которые получались бы на нашей сетчатке от предметов, находящихся в таком пространстве.
«Если бы какой-то наблюдатель, глазомер которого и пространственный опыт был бы подобен нашему, был помещён в какое-либо псевдосферическое пространство, то самые отдалённые предметы этого пространства он увидел бы на конечном расстоянии от себя, например, на расстоянии ста футов. Если бы он стал приближаться к этим отдалённым предметам, то он увидел бы, что они расширяются и именно больше в глубину, чем по поверхности; в то же время он увидел бы, что предметы, находящиеся позади его, стягиваются… Если бы он увидел две прямых линии, которые по его оценке шли бы параллельно до 100 футов, где Мир казался бы ему замыкавшимся, то он идя за ними, увидел бы, что при растяжении вещей, к которым он приближается, эти линии расходятся с друг другом тем больше, чем больше он к ним приближается, позади же его, наоборот, расстояние их ему казалось всё уменьшающимся, между тем как при дальнейшем движении вперёд линии казались бы ему всё более дивергирующими и всё более и более отдаляющимися друг от друга. Две прямые линии, которые в начальной точке казались ему сходящимися в одной и той же точке заднего фона на расстоянии 100 футов, сходились бы всегда, сколько бы он ни шёл, и точки пересечения их он никогда не достиг бы.
«Противоположные обманы принесло бы сферическое пространство трёх измерений, если бы мы в него вошли с тем глазомером, который нами приобретён в Евклидовом пространстве. Мы видели бы отдалённые предметы более отдалёнными и большими по величине, чем они суть в действительности; приближаясь к ним, мы нашли бы, что мы достигаем до них прежде, чем мы могли бы ожидать на основании зрительного образа. Мы могли бы увидеть перед собой также и те предметы, которые мы можем фиксировать при помощи расходящихся зрительных линий» и т.д.
Таким образом ясно, что мы можем себе «представить», какими были бы наши пространственные восприятия, если бы мы очутились в псевдо сферическом или сферическом пространстве трёх измерений. Эти пространственные отношения совершенно отличались бы от наших. А отсюда следует, что наши аксиомы суть результат воздействия внешнего мира. Он отнюдь не могут быть продуктом форм интуиции.
Из сказанного можно видеть, что Гельмгольц держится эмпирического объяснения в вопросе о происхождении геометрических аксиом.
Рассмотрим ещё один пункт в теории Гельмгольца, имеющий огромную важность для характеристики его эмпиризма. По его мнению, при установлении геометрических аксиом мы находимся не только в зависимости от пространственных свойств воспринимаемых нами тел, но также и от механических и физических свойств этих последних.
Основная предпосылка геометрии заключается в требовании, чтобы тела обладали свободною подвижностью, которая, как мы уже видели, является необходимым условием пространственного измерения. Для того, чтобы мы могли измерить какие-либо тела, мы должны сравнивать их. Для сравнения тел в пространственном отношении необходимо произвести совмещение или совпадение их, а для этого необходимо, чтобы тела при движении не изменяли своих форм. Если тела при передвижении не изменяют своих форм, то мы о них говорим, что они обладают твёрдостью (Festigkeit), а это и есть, конечно, физическое свойство тела. Таким образом необходимым предположением пространственного измерения тел является его физическое свойство.
Но откуда мы знаем, что это условие пространственного измерения действительно осуществляется? Откуда мы знаем, что тело действительно при передвижении не изменяет своих форм? Это мы знаем, по мнению Гельмгольца, из действительного опыта, из сравнения состояния реальных тел в процессе передвижения.
«В нашем пространстве, – говорит Гельмгольц, – движение твёрдых пространственных образов фактически возможно с известной степенью свободы». Это утверждение он поясняет при помощи следующего примера. «Если мы в нашем пространстве трёх измерений укрепим две точки какого-либо твёрдого тела, то оно может ещё совершать вращения только около прямой, соединяющей эти точки, как оси вращения. Если же мы дадим телу полный оборот, то оно вновь точно придёт в то положение, в котором находилось сначала». Как мы уже видели выше, возможна такая геометрия, где этого не могло бы быть. Есть поверхности, напр., яйцеобразного тела, эллипсоида, на которых геометрические фигуры не могут передвигаться без того, чтобы они не деформировались, т.е. не подвергались сжатию или растяжению. На такой поверхности не может быть совпадения или совмещения в собственном смысле. Такое пространство не допускает свободной подвижности между, тем как в нашем пространстве мы постоянно наблюдаем, что тела передвигаются без изменения своих пространственных форм.
Оказывается, поэтому что в геометрии мы считаемся с механическими свойствами тел, что обнаруживается также и в том, что мы в процессе измерения исходим из безмолвного предположения, что те инструменты, при помощи которых мы производим измерения. Остаются неизменными, т.е. что они обладают всеми свойствами твёрдых тел.
Таким образом, чтобы убедится в возможности геометрии, мы должны убедится в возможности измерения тел или, что то же, их совпадения; для этого мы должны убедится в возможности существования неизменяющихся твёрдых тел, а для этого необходим тот самый опыт и то самое наблюдение, которым мы пользуемся в естествознании. Отсюда ясно, что возможность наблюдения того, что тела при передвижении не подвергаются изменению, сближать геометрию с естествознанием. В этом смысле геометрия, подобно физике, есть опытная наука.
Если же геометрия есть наука опытная, то она имеет такой же гипотетический характер, как вообще науки о природе.
Если мы допустим возможность иных пространственных отношений, то естественно возникает вопрос, обладает ли наше пространство теми свойствами, которые мы ему приписываем. Может быть, наши геометрические аксиомы не являются истинным выражением свойств реального пространства. Может быть, те геометрические аксиомы, которые мы считаем безусловно достоверными на самом деле такой достоверностью не обладают.
Гельмгольц находит, что есть все основания допускать такое сомнение. Истинные свойства пространства могут быть определены только из опыта. Но каким образом? Рассуждения Гельмгольца в этом пункте сближаются с рассуждениями Риманна относительно необходимости определить меру кривизны нашего пространства.
«Различия евклидовой, сферической и псевдосферической геометрии основываются на значении известного постоянного, которое Риманн называет мерой кривизны соответствующего пространства, и величина которого должна равняться нулю, если аксиомы Евклида имеют действительность. Если она не равняется нулю, то треугольники с большой площадью должны были бы иметь другую сумму углов, чем треугольники с небольшой, в сферическом пространстве большие, в псевдосферическом – меньшие». Таким образом, если мы желаем определить свойства реального пространства, нам следует определить сумму больших треугольников, которые употребляются, например, в астрономии.
Исследование суммы углов в таких треугольниках не дало результатов, из которых можно было бы сделать вывод, что наше пространство, имеет не те свойства, какие мы ему приписываем, но тем не менее Гельмгольц считает вероятным, что если бы мы имели треугольник больший, чем тот, о котором идёт речь, то может быть результаты получились бы иные. «Все системы практического измерения, говорит он которые употреблялись для измерения углов больших прямолинейных треугольников и вообще все системы астрономических измерений… подтверждают эмпирически аксиому параллельных и показывают, что мера кривизны нашего пространства неотличима от нуля. Но можно предположить вопрос вместе с Риманном, не было бы ли это иначе, если бы мы вместо наших ограниченных основных линий (Standlinien), из которых самая большая есть большая ось земной орбиты, могли воспользоваться большими линиями». След. Хотя и не удалось доказать, что пространство наше не имеет тех свойств, которые мы ему приписываем, однако для Гельмгольца всё таки остаётся допустимой возможность, что если бы мы определили сумму углов астрономического треугольника, большего чем тот, который мы могли иметь в астрономии, то может быть оказалось бы, что сумма углов такого треугольника не равнялась 2d, а из этого следовало бы, что наше пространство, в действительности, обладает не теми свойствами, которые мы ему приписываем.
Эмпиризм Гельмгольца ещё резче обнаруживается в тех случаях, когда он высказывается против Кантовского понимания априорности. По его мнению геометрические аксиомы не суть необходимости мысли, потому что вполне мыслимо совершенно формулирование их; геометрические аксиомы, выражающие свойства нашего евклидового пространства, «не суть необходимости мысли (Denknothwendigkeiten)или необходимые следствия априори данных трансцендентальных форм нашей интуиции в смысле Канта, но он суть эмпирического происхождения»,
Возражая против Кантовской теории априорности, Гельмгольц однако делает весьма важное разграничение между априорностью пространства и априорностью геометрических аксиом. Именно он думает, что «пространство может быть априорным в то время, как аксиомы должны быть, конечно, эмпирическими».
Кантовское утверждение, что геометрические аксиомы представляют собой положения априорные, трансцендентальные, он понимает таким образом, как если бы дело шло о врождённых идеях во внутренней интуиции не имели абсолютно никакого отношения к чувственному опыту. По мнению Гельмгольца, если бы был справедливый взгляд Канта, по которому существуют независимые от опыта трансцендентальные интуиции, то мы не могли бы понять каким образом возможно приложение к объективному миру этих трансцедентальных интуиций, так как между трансцедентальными интуициями и между реальными интуициями пространства, которые мы имеем в геометрии, должна была бы существовать пропасть. Это приводит Гельмгольца к признанию двух видов геометрии, физической и трансцендентальной. Различие между ними происходит от того, что они различно определяют равенство тела. В физической геометрии «равенство тел констатируется при помощи реального измерения, при помощи измерения физическими вспомогательными средствами». Физическое равенство есть совершенно определённое объективное свойство пространственных величин. «Такая геометрия, которая устанавливала бы равенство при помощи реального измерения, была бы возможна, она носила бы характер естествознания». От этой геометрии отличается трансцендентальная, которая основываясь на гипотетически принимаемой трансцендентальной интуиции пространства, говорит о равенстве только во внутренней интуиции.
«В геометрии, которую признают кантианцы, мы имеем дело не с физическими телами и их состояниями при движениях, но мы составляем себе представление посредством внутренней интуиции об абсолютно неизменных и неподвижных пространственных величинах, телах, плоскостях, линиях, которые не будучи проводимы в совпадение посредством движения, что присуще только физическим телам, находятся друг с другом в отношении равенства».
«Допустим, – говорит Гельмгольц, – что подобная система геометрии, которая была бы независима от всех свойств физических тел, была бы возможна. Такая геометрия имела бы, конечно, свои аксиомы. Но, очевидно, что положения этой геометрии не необходимо должны были бы согласоваться с положениями физической геометрии, потому что одна говорит о равенстве пространственных величин во внутренней интуиции , а другая говорит о физическом равенстве. Это последнее находится в зависимости от физических свойств. Поэтому нужно доказать действительно ли существует соответствие между трансцендентальной геометрией и физической геометрией. Это нужно доказать из опыта. «Если бы действительно у нас существовала врождённая и неуничтожимая форма пространственной интуиции со включением аксиом, то на объективное научное приложение к опытному миру мы имели бы право только в том случае, если бы посредством опыта и наблюдения было констатировано, что равнозначные (gleichwerthige) пространственные части и физически равнозначны», т.е. что то равенство или равнозначность, которая констатируется в физической геометрии, тождественна с тем равенством, которое констатируется во внутренней интуиции. В трансцендентальной геометрии равенство определяется не при помощи наложения, а только при помощи сравнения во внутренней интуиции.
Таким образом и с этой точки зрения обнаруживается необходимость опыта для определения действительности геометрии.
Но что понимает Гельмгольц под априорностью, которую он оспаривает? Под априорностью Гельмгольц понимает известные врождённые условия восприятия, разумеется, физиологические, потому что он сопоставляет врождённость пространства с врождёнными физиологическими условиями восприятия вообще. Он готов признать, что эти врождённые условия обладают априорным характером. «Форма представления пространства, как необходимая форма интуиции расположения различного, дана априори». По его словам, «в организации нашего зрительного аппарата находится то, что все, что мы видим, может быть видимо, как пространственное распределение цветов. Это есть врождённая нам форма зрительных восприятий. В этом же смысле, я думаю, представление всех внешних объектов в пространственных отношениях, есть единственно возможная и априори данная форма, в которой мы вообще можем себе представлять вещи».
Что аксиомы являются выражением реальных свойств пространства – это вытекает также и из его общего реалистического взгляда на познание. Он признаёт особые реальные пространственные свойства, которые он называет патогенными моментами. «Наука, которую я назвал физической геометрией, – говорит он, – содержит положения с реальным содержанием; её аксиомы суть выражения не только простых форм представления, но также и отношений реального мира.
Резюмировать содержание взглядов Гельмгольца не трудно. На том основании, что мыслимы другие аналитически изобразимые пространственные формы, Гельмгольц утверждает, что мыслимы и другие пространства, а следовательно и другие геометрические аксиомы, а из этого, по его мнению, делается наглядным, что геометрические аксиомы представляют собой не больше как продукт опыта. Далее, так как геометрия находится в зависимости от существования твёрдых тел, то она, подобно физике, есть опытная наука, в которой истина может быть найдена только при помощи эмпирических методов, а это приводит к сомнению относительно того, в самом ли деле наша геометрия точно изображает действительность. Поэтомугеометрия родственна всем прочим индуктивным наукам, так как эти последние тоже ведь не точно изображают действительность.
Последователем Риманна и Гельмгольца является Бенно-Эрдманн.
Его заслуги сводятся к тому, что он выразил в философских терминах то, что уже раньше его защищали Риманн и Гельмгольц. Он, подобно им, защищает эмпиризм и выступает против априоризма; но оспаривая априористическую теорию, он имеет в виду то крайне рационалистическое толкование, по которому «понятие пространства рождается из спонтанных сил духа, совершенно независимо от воздействия какого бы то ни было опыта. Бенно-Эрдманн, подобно Риманну, думает, что природа пространства может быть понятна только а в том случае, если мы найдём определённые пространства; но чтобы найти определение пространства, необходимо найти такое родовое понятие, которому мы могли бы его подчинить, а также отыскать те «специфические признаки, которые отличают его от других возможных или действительных координированных видов этого родового понятия. Этого, по-видимому, нельзя сделать по той причине, что наше представление пространства таково, что оно есть единичная интуиция: ему соответствует только один вид. Нет другого вида или других видов вместе с которыми оно образовало бы род, а потому не может быть речь только об интуиции пространства, возможно мышление только единичного пространства. Нет понятия пространства, а есть только интуиция пространства. Но Бенно-Эрдманн с этим рассуждением не согласен и думает, что на основании математических соображений «пространство может быть понимаемо как понятие, которое в качестве вполне определённого члена может быть координировано с большим рядом соответствующих понятий, т.е. при помощи математических соображений можно показать, что пространство есть видовое понятие, по отношению к другому высшему родовому понятию. Какое же это высшее родовое понятие, по отношению к которому пространство является видовым? Это есть понятие величины.
«Аналитическая геометрия учит, что даже отдельная пространственная интуиция, напр., линии, плоскости и т.п., которые составляют собственный предмет математического исследования, суть в то же время и пространственные понятия». Пространственные формы, составляющие предмет эвклидовой геометрии, могут быть представлены как геометрически, так и аналитически при помощи системы уравнений. Так как последние имеют дело с величинами, то возможность двоякого выражения (геометрического и аналитического) пространственных форм показывает, что пространство есть величина.
Кроме того, указанные пространственные формы суть не только пространственные интуиции, но также и пространственные понятия.
Это можно пояснить следующим образом. Если мы имеем интуицию линии, напр., или треугольника, то она является представителем понятия линии, как эта последняя употребляется в геометрии. Геометрические интуиции хотя и употребляются, как интуиции, но они суть в действительности представители пространственных понятий. Та или другая единичная линия, с которой мы имеем дело в геометрии, не есть собственно единичная линия, она трактуется нами не как единичная линия, а как представительница, заместительница линии вообще. Поэтому она в нашем представлении является не в качестве интуиции, а в качестве понятия. Бенно-Эрдманн думает, что геометрические пространственные формы правильнее было бы назвать «интуитивные понятиями» (Anschauungs-begriffe).
Бенно-Эрдманну нужно показать, что то понятие, под которое нужно подвести пространство, есть понятие величины. До сих пор аналитическая геометрия признавала характер величины только за отдельными пространственными образованиями, но можно показать, что под это понятие можно подвести вообще понятие пространства.
Под понятие величины можно подводить все существенные определения пространства: протяжённость в три измерения, непрерывность и т.п. Их тоже можно определять как понятия величины, так как для каждого из них возможно определённое аналитическое выражение. Так, напр., протяжённость в три измерения сводится к зависимости каждого элемента от трёх независимых переменных.
Если таким образом можно сказать, что пространство есть величина, то искомое его определение может быть найдено. Но для того, чтобы это можно было сделать, необходимо указать те признаки, которые входят в состав искомого понятия, а для этого, конечно, необходимо, чтобы мы нашли другие понятия величины, которые мы могли бы сравнивать с понятием пространства, как величиной. Следовательно наша ближайшая задача заключается в отыскании таких величин, которые обладают частью признаков нашего понятия пространства как величины, которым однако не присущи другие признаки, присущие пространству.
Но как мы приходим к общему понятию пространства? Во всяком случае не так, как вообще ко всем другим понятиям, потому что нам не дано конкретное множество таких пространств, из которых мы могли бы составить понятие пространства, и только на основании аналитических соображений можно видеть, что существуют однородные понятия, сравнение которых и приводит к величинному понятию пространства, которое в свою очередь приводит к собственному понятию пространства.
Искомое определение пространства заключается в следующем: «пространство есть трояко протяжённая и непрерывная величина, элементы которой однозначно определяются при помощи трёх независимых переменных.
Он соглашается с Риманном и Гельмгольцом в том, что истинные свойства нашего пространства должны быть определены эмпирически.
Из этого принадлежность его к эмпиризму становится вне всякого сомнения. По его мнению «геометрия не есть чисто априорная наука, но она есть наука об эмпирических мероопределениях нашего пространства». Представление пространства, как оно употребляется в геометрии, не есть априорное представление рационалистическом смысле, ибо если бы оно на самом деле созидалось спонтанной силой души, то для нас оказалось бы невозможным образовать интуитивное представление о пространственных формах, отличающихся от нашего пространства». Если бы наше представление пространства было априорным в том смысле, в каком это обыкновенно понимают рационалисты, то не было бы никакой возможности мыслить какие-либо пространственные формы, так или иначе уклоняющиеся от нашего, а между тем метагеометрия именно доказала возможность этого.
Бенно-Эрдманн, очевидно, предполагает, что по априористическому пониманию допускаются какие-то познания, абсолютно независящие от опыта, т.е. познания, которые развиваются исключительно при помощи деятельности нашего ума. Опровергая априоризм, Бенно-Эрдманн имеет в виду именно априоризм крайний, рационалистический.
Рассматривая затем последовательно все геометрические аксиомы, он приходит к тому выводу, что их отнюдь нельзя признать рациональными познаниями: все их он считает эмпирическими.
Рационалистическая теория склонна была утверждать, что может быть только три измерения пространства. Но из метагеометрии мы можем легко убедиться, что пространство не необходимо должно иметь три измерения, так как мыслимы пространства с большим числом измерений. «Геометрия показывает, что троякость измерений не есть единственно возможный, а скорее это есть специальный случай». То обстоятельство, что наше пространство имеет три измерения, находится в зависимости от воздействия внешнего мира. Это доказывается тем, что их психологических данных нам известно, что для образования третьего измерения необходимо воздействие опыта. Поэтому следует признать, что «первая аксиома геометрии есть эмпирическая истина. Она выражает не необходимое в рационалистическом смысле, а фактическое свойство нашего представления пространства».
То же самое следует сказать и относительно аксиомы совместимости. И в этом случае не может быть речи относительно априорного приобретения, ибо пространственное измерение возможно только при условии совместимости или совпадения, совместимость же предполагает понятие движения и твёрдости, а эти последние имеют совершенно эмпирический характер, как это мы видели у Гельмгольца.
Аксиома плоского характера нашего пространства, по которой мера кривизны его равняется нулю, есть эмпирическое суждение, потому, что, по выражению Бенно-Эрдманна, «частично представимы сферические и псевдосферические мероопределения». Следовательно, плоский характер есть только частный случай, один из многих возможных.
Бенно-Эрдманн признаёт, сто аксиомам геометрии присущи предикаты необходимости всеобщностии неизменности, но думает, что они присущи им не в абсолютном рационалистическом смысле, «они не суть односторонние создания какой-либо духовной деятельности, они не суть вечной истины, которые совершенно независимы от какого бы то ни было опыта, который бы они сами создали, предписывая ему законы. Они суть продукт взаимодействия одинаково существенно определяющих причин, из которых одно коренится в глубинах нашего духа, а другое основывается на природе вещей».
Следовательно, нужно признать, что аксиомы геометрии выражают физическое свойство вещей и в этом смысле они эмпиричны.
Таким образом геометрия, подобно всем прочим наукам, имеет эмпирическое происхождение. В основе её исследований лежат общие индукции из опыта.
Г. Челпанов
